昌爸工作坊.動動腦081218

B  Preceptor   

發表日期：2008-12-23 19:35:17

518人力銀行 101原創T恤，專櫃品質，平民價格

解方程式ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴－４ｘｙｚ＋１＝０，且ｘ,ｙ,ｚ∈Ｒ。





這如果要因式分解，要怎麼分解？

12/18 　多虧大家的討論，小弟我大概明白了，再次感謝。

B  Preceptor   12-28 11:05 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

 

G  宇亭   

發表日期：2008-12-23 22:47:21  ( 1 樓)

要因式分解?!.....這要等待高手^^
只知道x^4+y^4+z^4-4xyz+1=0時
x^4=y^4=z^4=1且xyz=｜xyz｜
所以(x,y,z)=(1,1,1) (1,-1,-1).......

G  宇亭   12-23 22:49 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

B  mathplayer   

發表日期：2008-12-24 15:06:54  ( 2 樓)

ＡＭ≧ＧＭ
因式分解，這途徑不好做

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B  Preceptor   

發表日期：2008-12-24 19:20:48  ( 3 樓)

QUOTE:

---

作者:G 宇亭 回覆日期：2008-12-23 22:47:21
要因式分解?!.....這要等待高手^^
只知道x^4+y^4+z^4-4xyz+1=0時
x^4=y^4=z^4=1且xyz=｜xyz｜
所以(x,y,z)=(1,1,1) (1,-1,-1).......

---

嗯，我也是用算幾不等式的等號成立條件來解這題。

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B  Preceptor   

發表日期：2008-12-24 19:23:50  ( 4 樓)

QUOTE:

---

作者:B mathplayer 回覆日期：2008-12-24 15:06:54
ＡＭ≧ＧＭ

---

不好意思　有點看不懂您的意思

可不可以勞煩您再詳細說明一次  

B  Preceptor   12-24 19:24 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

G  宇亭   

發表日期：2008-12-24 20:53:45  ( 5 樓)

意思應該是....
當AM≧GM 要因式分解 很不好解(我猜^^

算幾不等式
算數平均數≧幾何平均數
(x^4+y^4+z^4+1^4)/4≧(x^4*y^4*z^4)^(1/4)

其實..(若無法直接配方或雙十字交乘)
一元四次要因式分解就很費時了...何況是三元四次-.-

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B  西拔辣   

發表日期：2008-12-24 21:37:10  ( 6 樓)

他是說這題可以用算幾不等式來做

如果一定要用因式分解 非常困難

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G  宇亭   

發表日期：2008-12-24 21:53:37  ( 7 樓)

QUOTE:

---

作者:B 西拔辣 回覆日期：2008-12-24 21:37:10
他是說這題可以用算幾不等式來做
如果一定要用因式分解 非常困難

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是這個意思嗎-.-......沒辦法(攤手~
mathplayer 除了解題...會落落長
回話都很簡短 (難免..會猜錯他的意思~ 
其實....
我更期待您和寒冰魅影..能用因式分解..解這一題^^

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B  外星人ET仔   

發表日期：2008-12-24 22:08:48  ( 8 樓)

這個方程式ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴－４ｘｙｚ＋１＝０，且ｘ,ｙ,ｚ∈Ｒ。
應該是一個3D曲面
與不等式有何關係??

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B  寒冰魅影   

發表日期：2008-12-24 22:15:03  ( 9 樓)

QUOTE:

---

作者:B 外星人ET仔 回覆日期：2008-12-24 22:08:48
這個方程式ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴－４ｘｙｚ＋１＝０，且ｘ,ｙ,ｚ∈Ｒ。
應該是一個3D曲面
與不等式有何關係??

---

(ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴＋１⁴)/4≧ｘｙｚ x 1
等號成立
所以|x|=|y|=|z|=|1|

B  寒冰魅影   12-24 22:17 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

B  寒冰魅影   

發表日期：2008-12-24 22:32:35  ( 10 樓)

QUOTE:

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作者:G 宇亭 回覆日期：2008-12-24 21:53:37
我更期待您和寒冰魅影..能用因式分解..解這一題^^

---

這真的能分解嗎= =
期待高手中0.0....

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B  外星人ET仔   

發表日期：2008-12-24 22:35:28  ( 11 樓)

QUOTE:

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作者:B 寒冰魅影 回覆日期：2008-12-24 22:15:03

(ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴＋１⁴)/4≧ｘｙｚ x 1
等號成立
所以|x|=|y|=|z|=|1|

---

哦
但你答案還是有些不對

(-1,-1,-1)並不是其中1個解

好像就只有四組解(1,1,1),(-1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1)

我想題意不是真的要因式分解

B  外星人ET仔   12-24 22:39 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

B  寒冰魅影   

發表日期：2008-12-24 22:46:00  ( 12 樓)

QUOTE:

---

作者:B 外星人ET仔 回覆日期：2008-12-24 22:35:28

哦
但你答案還是有些不對

(-1,-1,-1)並不是其中1個解

好像就只有四組解(1,1,1),(-1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1)

我想題意不是真的要因式分解

---

忘了還有個條件= =
|xyz|=xyz

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B  mathplayer   

發表日期：2008-12-24 23:33:38  ( 13 樓)

QUOTE:

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作者:B 西拔辣 回覆日期：2008-12-24 21:37:10
他是說這題可以用算幾不等式來做

如果一定要用因式分解 非常困難

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是這意思！

目前還想不到可以分解的方法．

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B  !Kevin   

發表日期：2008-12-25 20:21:17  ( 14 樓)

原題目為
解方程式 x4+y4+z4- 
4xyz+1= 0
(上海中學數學2006夏令營試題)

也就是只要解題就好
正解如下:
                                  AM≧GM (可以用微積分證明)
                   (x⁴+y⁴+z⁴+1⁴)≧ 4xyz
但是            (x⁴+y⁴+z⁴+1⁴)= 4xyz [照題意]
所以根只有
|z|=|y|=|x|=1, 試x,y,z = 1, -1
得出(x,y,z)=(-1,-1,1,),(-1,1,-1,),(1,-1,-1),(1,1,1)

為答案,故只有四種解
(根本不需因式分解除非你要求出虛跟)

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B  西拔辣   

發表日期：2008-12-25 21:13:03  ( 15 樓)

好像無法分解...

樓上的答案和過程有漏洞

請參考12樓的漏洞

不然照你的過程並沒有交代答案為什麼從八個變四個= =

不過似乎大家都事先知道答案才去推條件的...

|xyz|=xyz 這點有沒有過程?

B  西拔辣   12-25 21:15 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

G  宇亭   

發表日期：2008-12-25 23:17:10  ( 16 樓)

此題..解方程式... Preceptor 他會
(原題目...也只是要求...解方程式)
只不過 Preceptor 突發奇想(笑~
想說..這題 能不能因式分解而已~
(聰明的小孩...總是有很多..怪的聯想-.-)

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會員已停權  

發表日期：2008-12-25 23:38:12  ( 17 樓)

此會員已停權，回覆已被管理員屏蔽

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B  mathplayer   

發表日期：2008-12-26 10:19:45  ( 18 樓)

QUOTE:

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作者:B 西拔辣 回覆日期：2008-12-25 21:13:03
好像無法分解...

樓上的答案和過程有漏洞

請參考12樓的漏洞

不然照你的過程並沒有交代答案為什麼從八個變四個= =

不過似乎大家都事先知道答案才去推條件的...

|xyz|=xyz 這點有沒有過程?

---

有,這一步應該是這樣

(x⁴+y⁴+z⁴+1⁴)≧ 4|xyz|

等號成立,去絕對值.......

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B  Preceptor   

發表日期：2008-12-26 19:42:16  ( 19 樓)

QUOTE:

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作者:G 宇亭 回覆日期：2008-12-25 23:17:10
此題..解方程式... Preceptor 他會
(原題目...也只是要求...解方程式)
只不過 Preceptor 突發奇想(笑~
想說..這題 能不能因式分解而已~
(聰明的小孩...總是有很多..怪的聯想-.-)

---

都被你看透了…　　(不過我沒有很聰明)

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B  Preceptor   

發表日期：2008-12-26 19:54:47  ( 20 樓)

不過其實我會問這題還有一個原因

因為它跟以下公式不知道有無關連
ａ¹－１×ａ＝０
ａ²＋ｂ²－２×ａｂ＝(ａ－ｂ)(ａ－ｂ)
ａ³＋ｂ³＋ｃ³－３×ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ²＋ｂ²＋ｃ²－ａｂ－ｂｃ－ａｃ)
ａ⁴＋ｂ⁴＋ｃ⁴＋ｄ⁴－４×ａｂｃｄ＝？

其中的第４個，把ａ＝ｘ、ｂ＝ｙ、ｃ＝ｚ、ｄ＝１代入，
即為本題ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴＋１－４ｘｙｚ

所以我才再想這樣的形式是否依然可以分解下去？

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B  !Kevin   

發表日期：2008-12-26 20:30:25  ( 21 樓)

好會想阿...我都沒想到
經過指點可以跑出下列東西
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2a²b²+2c²d²-4abcd
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2((ab)²+(cd)²)-4abcd
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2((ab-cd)²+2abcd)-4abcd
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²+4abcd-4abcd
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²b²+c²d²)-2(a²d²+b²c²)+2(a²d²+b²c²)-2(2abcd)
=(a²-b²+c²-d²)²+2(ad-bc)²
=(a²-b²+c²-d²+i√2(ad-bc))(a²-b²+c²-d²-i√2(ad-bc))

所以
x⁴+y⁴+z⁴-4xyz+1
=(x²-y²+z²-1+i√2(x-yz))(x²-y²+z²-1-i√2(x-yz))

幫我找小錯誤(如果有的話)
(-1,-1,1,),(-1,1,-1,),(1,-1,-1),(1,1,1)都符合
x和yz的正負號必須一樣.

B  !Kevin   12-26 21:17 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

G  宇亭   

發表日期：2008-12-26 23:59:21  ( 22 樓)

QUOTE:

---

作者:B !Kevin 回覆日期：2008-12-26 20:30:25
(x²-y²+z²-1+i√2(x-yz))(x²-y²+z²-1-i√2(x-yz))

---

看到複數-.-我就投降一半~
初步驗算結果
=x^4+y^4+z^4-4xyz+1+2y^2-2z^2-2x^2*y^2+2x^2*z^2
明早再看看~

G  宇亭   12-27 00:09 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

B  西拔辣   

發表日期：2008-12-27 01:25:33  ( 23 樓)

=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²b²+c²d²)-2(a²d²+b²c²)+2(a²d²+b²c²)-2(2abcd)
=(a²-b²+c²-d²)²+2(ad-bc)²
=(a²-b²+c²-d²+i√2(ad-bc))(a²-b²+c²-d²-i√2(ad-bc))


(a²-b²+c²-d²)²展開有點怪怪的
應該要會有a²c²這項?

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B  !Kevin   

發表日期：2008-12-27 06:12:25  ( 24 樓)

=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²c²+b²d²-a²d²-b²c²)-2(a²c²+b²d²-a²d²-b²c²)+2(a²b²+c²d²)-2(2abcd)
=(a²-b²+c²-d²)²+2(a²b²+c²d²+a²d²+b²c²-a²c²-b²d²-2abcd)
=(a²-b²+c²-d²+i√[2(a²b²+c²d²+a²d²+b²c²-a²c²-b²d²-2abcd)])(a²-b²+c²-d²-i√[2(a²b²+c²d²+a²d²+b²c²-a²c²-b²d²-2abcd)])...?

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B  !Kevin   

發表日期：2008-12-27 06:29:50  ( 25 樓)

OR
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd
=(a²+b²)²+(c²+d²)²-2a²b²-2c²d²-4abcd
=(a²+b²)²+(c²+d²)²-2(ab+cd)²
=(a²+b²+c²+d²)²+2(a²c²+a²d²+b²c²-b²d²)-2(a²b²+c²d²+2abcd)
=(a²+b²+c²+d²)²-2(a²b²+c²d²+2abcd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d²)
=(a²+b²+c²+d²+√[2(a²b²+c²d²+2abcd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d²)])(a²+b²+c²+d²-√[2(a²b²+c²d²+2abcd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d²)])

[a²+b²-c²=(a+b)²-c²+2ab =(a+b+√(c²-2ab))(a+b-√(c²-2ab))
如果知道a²+b²+c²怎麼分解的話就知道怎麼分解這玩意了

B  !Kevin   12-27 06:31 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

 

G  宇亭   

發表日期：2008-12-27 09:24:01  ( 26 樓)

QUOTE:

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作者:B !Kevin 回覆日期：2008-12-27 06:29:50
=(a²+b²+c²+d²+√[2(a²b²+c²d²+2abcd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d²)])(a²+b²+c²+d²-√[2(a²b²+c²d²+2abcd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d²)])

---

不得不佩服你的精神
不過.....你腦筋一定還不夠清醒(這麼早起來-.-
幫你改一下
=(a²+b²+c²+d²+√[2(a²b²+c²d²+2abcd+a²c²+a²d²+b²c²+b²d²)])(a²+b²+c²+d²-√[2(a²b²+c²d²+2abcd+a²c²+a²d²+b²c²+b²d²)])
結論......你分解成功了(笑~

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B  mathplayer   

發表日期：2009-01-02 23:37:05  ( 27 樓)

公佈的解法是........................

配方法

(x^2 - 1)^2+( y^2 - z^2 )^2 + 2(yz- x)^2 = 0

B  mathplayer   01-02 23:49 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除