愚蠢男孩的數測（9/4可怕的模擬考結束了！大家來這喝茶解題，活動一下筋骨吧！）
1.設N＝29x+145y，其中x、y都是自然數，若N為立方平方數，則x+y的最小值為？
2.在正方形ABCD所在的平面上有個點P，使得三角形PAB、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形，則滿足此特性的P點有幾個？
3.設n為正整數，An代表1、2、3.......1001中能被n整除之所有數的平均，其中2小於等於n小於等於500，則下列何者為正確？
（1）A13為507 （2）隨著n增加，An也增加 （3）A2小於等於An
（4）An的最小值為501 （5）使An為最小值的數有5個
4.在一個圓形的時鐘表面，OA表示秒針，OB表示分針，若現在為12點整，請問經過幾秒後，三角形OAB的面積第一次達到最大？
5.將1～10等10個數字分成2組，設第一組的乘積為P，第二組的乘積為Q，若P能被Q整除，則P/Q的最小值為？
6.直線上有兩相異固定點B、C，已知B和C相距6單位，直線外有一平行線M，兩線相距4單位，已知點A為直線M上的一點且A可以再直線上自由移動，設A、B、C形成一三角形，求此三角形最大的內切圓面積為？
7.已知M、N為自然數，且M大於N，若3^M和3^N的末三位數相同，則M-N的最小值為？
8.等腰三角形ABC中，線段AB等於線段BC，D在邊AC上（D介於A和C之間），使線段AD＝2線段CD，且E點在BD上（E在B、D之間），使得∠BAE＝∠EBC，證明：2∠CED＝∠ABC
9.解方程式2√（x^2-121)+11√（x^2-4）＝（7√3）x(小弟我該死，又少打了一個2）
10.壓軸！！ 試因式分解x^10+x^5+1
11.(加分題）1，11，21，1211，3112請依照此數列的規律推出下一項（有點技巧）
12.把1997分解成數個正整數相加（可相同的正整數），把這幾個正整數相乘使其積為最大，求該如何分解？需要證明。
13.今有1～9等9個數，該如何運用加減乘除及並排（1和2可變成12），且按照順序（就是9要先出現，1要最後出現）的方式，使其成為2010？
14.給一19度角，如何用尺規作圖做出1度的角？
15.從1到10000的整數中，可以用兩個非負整數的平方差來表示的整數總共有幾個？
16.在銳角三角形ABC中，O為外心，AP是其中的一個高，角C大於等於（角B+30度）。證明：角A+角COP小於90度。
17.21個男生和21個女生參加台論數學競賽，最後出現下列兩種的情況：
（1）每個人最多解出六題
（2）任何一個男生和任何一個女生都至少解出相同的一題
證明：有一道題目至少有三男三女解出來
18.今天有2個FBI要在10天內穿越沙漠，但每個人出發時只能帶足8天的糧食飲水，但可以請一個民工（也只能帶8天的量），請問他們該如何順利穿越沙漠？（不能有人掛掉喔！）
19.在上午9點幾分時，時針與分針恰好在一直線上？
20.甲、乙二人用相同速度，從A地到B地。甲先出發，當甲所行距離是乙的1.5倍時，甲又行了3500米到達了B地，然後立刻返回，走了全程的1/16後遇到乙，則A、B相距幾公尺？
21.若進貨價降低8％而售價不便，則利潤從P％升到了P％+10％，則原來的利潤率是？
22.（1）已知一遞增數列〈1,3,3,3,5,5,5,5,5,……〉，每一項都是奇數且，K重複K次，則求第2010項為？
〈2〉已知一遞增數列〈1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……〉，Q重複Q次，則第2010項為？
23.(2/3!)+(3/4!)+……+(11/12!)=A/12!，試求A÷13的餘數是？
24.已經一個正數列中，第一項＝1，且Sn＝（1/2）（an+1/an），試求前n項的值？（需要算式）
25.若符合不等式(3x-2)^2
26.若正方形ABCD的邊長為13，作直角三角形ABE和CDF，且線段AE＝線段CF＝12，線段BE＝線段DF＝5，求線段EF＝？（如果需要圖，等等會補上）
27.四邊形ABCD的兩雙對邊延長後分別交於K、L，直線KL與對角線AC、DB分別交於GF，證明：LF/KF＝LG/KG
28.三角形ABC中，D是AC的中點，E、F三等分BC，AE和AF分別交BD於M、N兩點，則線段BM：MN：ND＝？
又新增了10題清粥小菜，都是我去上課的一些題目，供大家交流一下～不管你是秒殺題目的高手、喜歡挑戰自我的中手或者是努力鍛鍊中的低手，通通來挑戰吧！不怕你解開，只怕你解不開不來嘿！
2.在正方形ABCD所在的平面上有個點P，使得三角形PAB、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形，則滿足此特性的P點有幾個？
3.設n為正整數，An代表1、2、3.......1001中能被n整除之所有數的平均，其中2小於等於n小於等於500，則下列何者為正確？
（1）A13為507 （2）隨著n增加，An也增加 （3）A2小於等於An
（4）An的最小值為501 （5）使An為最小值的數有5個
4.在一個圓形的時鐘表面，OA表示秒針，OB表示分針，若現在為12點整，請問經過幾秒後，三角形OAB的面積第一次達到最大？
5.將1～10等10個數字分成2組，設第一組的乘積為P，第二組的乘積為Q，若P能被Q整除，則P/Q的最小值為？
6.直線上有兩相異固定點B、C，已知B和C相距6單位，直線外有一平行線M，兩線相距4單位，已知點A為直線M上的一點且A可以再直線上自由移動，設A、B、C形成一三角形，求此三角形最大的內切圓面積為？
7.已知M、N為自然數，且M大於N，若3^M和3^N的末三位數相同，則M-N的最小值為？
8.等腰三角形ABC中，線段AB等於線段BC，D在邊AC上（D介於A和C之間），使線段AD＝2線段CD，且E點在BD上（E在B、D之間），使得∠BAE＝∠EBC，證明：2∠CED＝∠ABC
9.解方程式2√（x^2-121)+11√（x^2-4）＝（7√3）x(小弟我該死，又少打了一個2）
10.壓軸！！ 試因式分解x^10+x^5+1
11.(加分題）1，11，21，1211，3112請依照此數列的規律推出下一項（有點技巧）
12.把1997分解成數個正整數相加（可相同的正整數），把這幾個正整數相乘使其積為最大，求該如何分解？需要證明。
13.今有1～9等9個數，該如何運用加減乘除及並排（1和2可變成12），且按照順序（就是9要先出現，1要最後出現）的方式，使其成為2010？
14.給一19度角，如何用尺規作圖做出1度的角？
15.從1到10000的整數中，可以用兩個非負整數的平方差來表示的整數總共有幾個？
16.在銳角三角形ABC中，O為外心，AP是其中的一個高，角C大於等於（角B+30度）。證明：角A+角COP小於90度。
17.21個男生和21個女生參加台論數學競賽，最後出現下列兩種的情況：
（1）每個人最多解出六題
（2）任何一個男生和任何一個女生都至少解出相同的一題
證明：有一道題目至少有三男三女解出來
18.今天有2個FBI要在10天內穿越沙漠，但每個人出發時只能帶足8天的糧食飲水，但可以請一個民工（也只能帶8天的量），請問他們該如何順利穿越沙漠？（不能有人掛掉喔！）
19.在上午9點幾分時，時針與分針恰好在一直線上？
20.甲、乙二人用相同速度，從A地到B地。甲先出發，當甲所行距離是乙的1.5倍時，甲又行了3500米到達了B地，然後立刻返回，走了全程的1/16後遇到乙，則A、B相距幾公尺？
21.若進貨價降低8％而售價不便，則利潤從P％升到了P％+10％，則原來的利潤率是？
22.（1）已知一遞增數列〈1,3,3,3,5,5,5,5,5,……〉，每一項都是奇數且，K重複K次，則求第2010項為？
〈2〉已知一遞增數列〈1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……〉，Q重複Q次，則第2010項為？
23.(2/3!)+(3/4!)+……+(11/12!)=A/12!，試求A÷13的餘數是？
24.已經一個正數列中，第一項＝1，且Sn＝（1/2）（an+1/an），試求前n項的值？（需要算式）
25.若符合不等式(3x-2)^2
26.若正方形ABCD的邊長為13，作直角三角形ABE和CDF，且線段AE＝線段CF＝12，線段BE＝線段DF＝5，求線段EF＝？（如果需要圖，等等會補上）
27.四邊形ABCD的兩雙對邊延長後分別交於K、L，直線KL與對角線AC、DB分別交於GF，證明：LF/KF＝LG/KG
28.三角形ABC中，D是AC的中點，E、F三等分BC，AE和AF分別交BD於M、N兩點，則線段BM：MN：ND＝？
又新增了10題清粥小菜，都是我去上課的一些題目，供大家交流一下～不管你是秒殺題目的高手、喜歡挑戰自我的中手或者是努力鍛鍊中的低手，通通來挑戰吧！不怕你解開，只怕你
發表日期：2010-08-16 21:55:31 ( 1 樓)
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發表日期：2010-08-21 00:46:55 ( 18 樓)
method 1 (轉錄)
3^m-3^n=1000t
3^n(3^(m-n)-1)=1000t
因為3^n不會是1000的倍數，因此(3^(m-n)-1)必為1000的倍數，
仍注意4│(m-n)
令m-n=4k
依二項式定理可得
3^(m-n)=3^4k=81^k=1000×C＋c(k,2)×6400＋c(k,1)×80＋1
得c(k,2)×6400＋c(k,1)×80=1000s
得k(80k-78)=25s，顯然80k-78不會是5的倍數，故得
25│k，即m-n≧4×25＝100。
我自己用Euler定理
φ(1000)=400
gcd(3,1000)=1
3^400=1 mod 1000
換句話說
3^400-1=1000k
3^400-1=(3^200+1)(3^100+1)(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)
我們很容易看出只有3^50+1 = 0 mod 10
其他都是 3^200+1=3^100+1=3^25-1=2 mod 10 & 3^25+1=4 mod 10 意思這些都不會被5整除
這代表著 10 | 3^50+1 & 125 | 3^50+1(因為1000=8*125) =>250 | 3^50+1
又3^25+1=3^25-1=2 mod 10
所以 (3^50+1)(3^25+1)(3^25-1) = 0 mod 1000
所以3^100 = 1 mod 1000
同理3^101 = 3 mod 1000
101-1=100 (min)
3^m-3^n=1000t
3^n(3^(m-n)-1)=1000t
因為3^n不會是1000的倍數，因此(3^(m-n)-1)必為1000的倍數，
仍注意4│(m-n)
令m-n=4k
依二項式定理可得
3^(m-n)=3^4k=81^k=1000×C＋c(k,2)×6400＋c(k,1)×80＋1
得c(k,2)×6400＋c(k,1)×80=1000s
得k(80k-78)=25s，顯然80k-78不會是5的倍數，故得
25│k，即m-n≧4×25＝100。
我自己用Euler定理
φ(1000)=400
gcd(3,1000)=1
3^400=1 mod 1000
換句話說
3^400-1=1000k
3^400-1=(3^200+1)(3^100+1)(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)
我們很容易看出只有3^50+1 = 0 mod 10
其他都是 3^200+1=3^100+1=3^25-1=2 mod 10 & 3^25+1=4 mod 10 意思這些都不會被5整除
這代表著 10 | 3^50+1 & 125 | 3^50+1(因為1000=8*125) =>250 | 3^50+1
又3^25+1=3^25-1=2 mod 10
所以 (3^50+1)(3^25+1)(3^25-1) = 0 mod 1000
所以3^100 = 1 mod 1000
同理3^101 = 3 mod 1000
101-1=100 (min)
發表日期：2010-08-24 10:48:37 ( 19 樓)
發表日期：2010-08-24 15:51:09 ( 20 樓)
1.N=29x+145y=29(x+5y)
因為29為質數，故N要為完全立方數的話，x+5y≦841
x+y要取最小值且x跟y要皆為自然數
x+5y=841
x=1+5t
y=168-t
(t為整數，且0≦t≦167)
x+y=169+4t
所以~~t=0時
x+y有最小值169
2.正方形對角線交點算一個
然後...各邊皆作正三角形
每個正三角形在正方形外的頂點都算一個，所以有4個...
然後總共就有5個...是嗎><
(這種題目超容易錯的!!)
3.<1>、<2>、<3>、<4>...不知道對不對耶...這題好煩XD
4.15又15/719嗎? 看起來超怪的...
5.7 7!/(10!/7!)
6.9/4拍...這題用目測的...
7.有人解完哩
8.證明...跳過
9.不會!!
10.有怪物秒殺了!!
11.有人答對了!!
因為29為質數，故N要為完全立方數的話，x+5y≦841
x+y要取最小值且x跟y要皆為自然數
x+5y=841
x=1+5t
y=168-t
(t為整數，且0≦t≦167)
x+y=169+4t
所以~~t=0時
x+y有最小值169
2.正方形對角線交點算一個
然後...各邊皆作正三角形
每個正三角形在正方形外的頂點都算一個，所以有4個...
然後總共就有5個...是嗎><
(這種題目超容易錯的!!)
3.<1>、<2>、<3>、<4>...不知道對不對耶...這題好煩XD
4.15又15/719嗎? 看起來超怪的...
5.7 7!/(10!/7!)
6.9/4拍...這題用目測的...
7.有人解完哩
8.證明...跳過
9.不會!!
10.有怪物秒殺了!!
11.有人答對了!!
發表日期：2010-08-24 16:44:38 ( 21 樓)
QUOTE:答對的題目有：
作者:G 薔薇兒 回覆日期：2010-08-24 15:51:09
1.N=29x+145y=29(x+5y)
因為29為質數，故N要為完全立方數的話，x+5y≦841
x+y要取最小值且x跟y要皆為自然數
x+5y=841
x=1+5t
y=168-t
(t為整數，且0≦t≦167)
x+y=169+4t
所以~~t=0時
x+y有最小值169
2.正方形對角線交點算一個
然後...各邊皆作正三角形
每個正三角形在正方形外的頂點都算一個，所以有4個...
然後總共就有5個...是嗎><
(這種題目超容易錯的!!)
3.<1>、<2>、<3>、<4>...不知道對不對耶...這題好煩XD
4.15又15/719嗎? 看起來超怪的...
5.7 7!/(10!/7!)
6.9/4拍...這題用目測的...
7.有人解完哩
8.證明...跳過
9.不會!!
10.有怪物秒殺了!!
11.有人答對了!!
（1）
（5）→如果你的答案是7的話
（6）→還真給你目測對了....
發表日期：2010-08-24 17:47:58 ( 22 樓)
發表日期：2010-08-24 17:59:32 ( 23 樓)
發表日期：2010-08-24 20:02:24 ( 24 樓)
發表日期：2010-08-24 20:10:18 ( 25 樓)
發表日期：2010-08-24 20:14:43 ( 26 樓)
發表日期：2010-08-24 20:17:33 ( 27 樓)
發表日期：2010-08-24 21:23:42 ( 28 樓)
發表日期：2010-08-24 21:48:29 ( 29 樓)
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