【高中】排列組合
1 .
五為夫婦圍成一圓桌而坐，求夫婦對坐的坐法有幾種 ?
我的算法 : ( 5階 / 5 ) * 2^5 (夫婦交換位置坐) = 768
但是答案是384 我變成兩倍了 ..
2 .
有三個不同的杯子與五種不同的飲料，每個杯子到入一種飲料，杯子裡面的飲料可以相同，請問有幾種倒法 ?
ANS : 125
3 .
將六個不同的獎品分給 甲乙丙丁 四個人，每人不限制得幾件，可兼得也可不得，則甲至少得一件的方法有幾種 ? 甲至少得兩件的方法有幾種 ?
ANS (1) 3367 (2) 1909 .
4 .
若平面上有12個點，其中5個點共線，此外任3個點皆不共線，此12個點可以決定多少條直線 ?
ANS : 57
麻煩各位了 謝謝
五為夫婦圍成一圓桌而坐，求夫婦對坐的坐法有幾種 ?
我的算法 : ( 5階 / 5 ) * 2^5 (夫婦交換位置坐) = 768
但是答案是384 我變成兩倍了 ..
2 .
有三個不同的杯子與五種不同的飲料，每個杯子到入一種飲料，杯子裡面的飲料可以相同，請問有幾種倒法 ?
ANS : 125
3 .
將六個不同的獎品分給 甲乙丙丁 四個人，每人不限制得幾件，可兼得也可不得，則甲至少得一件的方法有幾種 ? 甲至少得兩件的方法有幾種 ?
ANS (1) 3367 (2) 1909 .
4 .
若平面上有12個點，其中5個點共線，此外任3個點皆不共線，此12個點可以決定多少條直線 ?
ANS : 57
麻煩各位了 謝謝
發表日期：2010-05-01 19:50:30 ( 1 樓)
發表日期：2010-05-01 21:33:25 ( 2 樓)
發表日期：2010-05-01 21:53:02 ( 3 樓)
發表日期：2010-05-01 21:58:17 ( 4 樓)
發表日期：2010-05-01 22:19:03 ( 5 樓)
QUOTE:你的做法是夫妻相鄰，不是題目要的夫妻相對．
作者:B M!dN!ght 回覆日期：2010-05-01 19:01:20
1 .
五為夫婦圍成一圓桌而坐，求夫婦對坐的坐法有幾種 ?
我的算法 : ( 5階 / 5 ) * 2^5 (夫婦交換位置坐) = 768
但是答案是384 我變成兩倍了 ..
環排的解法，大致有兩種
（１）先請一部分人入座（環排），接下來的部分都可以用直排來考慮
（２）先計算直排數，再除以旋轉數
Ａ
Ｂ ｅ
Ｃ ｄ
Ｄ ｃ
Ｅ ｂ
ａ
解法一：
２！
Ａａ先入座有－－＝１種
２
然後（Ｂｂ）（Ｃｃ）（Ｄｄ）（Ｅｅ）
４
直排有４！＊２ ＝２４＊１６＝３８４種
解法二：先考慮直排數再除以旋轉數
１
２ ０
３ ９
４ ８
５ ７
６
Ａ ａ Ｂ ｂ Ｃ ｃ Ｄ ｄ Ｅ ｅ
１０＊１＊８＊１＊６＊１＊４＊１＊２＊１
解說：
照Ａ→ａ→Ｂ→ｂ→Ｃ→ｃ→Ｄ→ｄ→Ｅ→ｅ順序入座
Ａ有１０個位置可以選擇
ａ只有１個位置可以選擇（Ａ的對面）
Ｂ只有８個位置可以選擇（Ａａ已經入座）
ｂ只有１個位置可以選擇（Ｂ的對面）
．．．．依此類推．．．．
有１０個人座圓桌，所以旋轉數＝１０
１０＊８＊６＊４＊２
故所求＝－－－－－－－－－－ ＝ ３８４
１０
解答沒錯．
發表日期：2010-05-01 22:34:33 ( 6 樓)
發表日期：2010-05-01 22:37:28 ( 7 樓)
發表日期：2010-05-01 22:52:27 ( 8 樓)
3 .
將六個不同的獎品分給 甲乙丙丁 四個人，每人不限制得幾件，可兼得也可不得，則甲至少得一件的方法有幾種 ? 甲至少得兩件的方法有幾種 ?
ANS (1) 3367 (2) 1909 .
（１）
甲至少得一件的方法＝全部－甲未得
６ ６
＝４ －３ ＝４０９６－７２９＝３３６７
解說：可以兼得的意思，就是可以重複，分配不同物品給不同的人是種排列，所以本題是重複排列的題型．
因為一個人可以拿不只一件獎品也可以不拿，所以以人來考慮解法會相對難做．
而一件獎品只能給一個人，有１對１的性質，所以用獎品來考慮解法．
六個不同的獎品分給甲乙丙丁四個人
６
每個獎品都有４個主人可供選擇，所以是４
６
若甲不拿，只剩３個主人可供選擇，故為３
（２）
甲至少得２件的方法
＝全部－甲未得－甲恰得１件
６ ６ ５
＝４ －３ －６＊３
＝４０９６－７２９－６＊２４３
＝１９０９
解說：甲恰得一件的方法
＝甲先選一件，剩５件給乙丙丁
５
＝６ ＊３
（有６件）（３人分５件可兼得）
將六個不同的獎品分給 甲乙丙丁 四個人，每人不限制得幾件，可兼得也可不得，則甲至少得一件的方法有幾種 ? 甲至少得兩件的方法有幾種 ?
ANS (1) 3367 (2) 1909 .
（１）
甲至少得一件的方法＝全部－甲未得
６ ６
＝４ －３ ＝４０９６－７２９＝３３６７
解說：可以兼得的意思，就是可以重複，分配不同物品給不同的人是種排列，所以本題是重複排列的題型．
因為一個人可以拿不只一件獎品也可以不拿，所以以人來考慮解法會相對難做．
而一件獎品只能給一個人，有１對１的性質，所以用獎品來考慮解法．
六個不同的獎品分給甲乙丙丁四個人
６
每個獎品都有４個主人可供選擇，所以是４
６
若甲不拿，只剩３個主人可供選擇，故為３
（２）
甲至少得２件的方法
＝全部－甲未得－甲恰得１件
６ ６ ５
＝４ －３ －６＊３
＝４０９６－７２９－６＊２４３
＝１９０９
解說：甲恰得一件的方法
＝甲先選一件，剩５件給乙丙丁
５
＝６ ＊３
（有６件）（３人分５件可兼得）
發表日期：2010-05-01 23:04:16 ( 9 樓)
發表日期：2010-05-01 23:47:27 ( 10 樓)
發表日期：2010-05-02 00:31:16 ( 11 樓)
QUOTE:先分Ｃ和Ｐ
作者:B M!dN!ght 回覆日期：2010-05-01 23:47:27
謝謝 B mathplayer 大大的幫忙 ..
可以問你
看到題目時該怎麼分辨是用 C 或 H 或 P 呢 ?
題意必須分順序就是要排列，可以不分順序的，就是組合
不過組合公式是由排列推得的
所以組合的題型事實上也可以用排列的方式來列式，例如說分堆的題型．
而重複組合的題型的特性是非負整數解，所以有此特性的題型，就可以用重複組合來算．
但是 排列組合的題型解題方式不見得只有一種
所以 這個單元要學好
基本題型一定要認清楚，特別是老師教授過的題型
而變化的題型，平時要多做，培養思考的習慣
如果手邊有詳解的參考書，是最好的
從書中去學習解題技巧和方法
遇上不懂的再發問
會有效果的
發表日期：2010-05-02 11:08:16 ( 12 樓)
發表日期：2010-05-02 13:00:41 ( 13 樓)
發表日期：2010-05-02 20:00:19 ( 14 樓)
發表日期：2010-05-04 01:59:43 ( 15 樓)
發表日期：2010-05-05 21:03:51 ( 16 樓)
(1) 5！/5✕2^4 {五對男女先環狀排列，然後其中四對
的男女可以另外排列(五對的話視為沒
換)24✕16=384
(2) 第一個杯子可以選5種飲料的其中1種，第二個杯子
同樣可以選5種飲料的其中1種……以此類推，三個
杯子，共有5✕5✕5=125
(3)-1 全部-甲沒有=甲有1個以上
4^6-3^6=4096-729=3367
(3)-2 全部-甲沒有-甲只有1個(這1個是從6個當中挑1個)
=甲有2個以上
=4^6-3^6-6✕3^5=4096-729-1458=1909
(4) 12個點中有7點未共線
則7個點當中任選2個為一線
又因這7個任意點與共線的5點可以成為35條線
最後加上5點共線的那條線
→C7取2+7✕5+1=21+35+1=57
的男女可以另外排列(五對的話視為沒
換)24✕16=384
(2) 第一個杯子可以選5種飲料的其中1種，第二個杯子
同樣可以選5種飲料的其中1種……以此類推，三個
杯子，共有5✕5✕5=125
(3)-1 全部-甲沒有=甲有1個以上
4^6-3^6=4096-729=3367
(3)-2 全部-甲沒有-甲只有1個(這1個是從6個當中挑1個)
=甲有2個以上
=4^6-3^6-6✕3^5=4096-729-1458=1909
(4) 12個點中有7點未共線
則7個點當中任選2個為一線
又因這7個任意點與共線的5點可以成為35條線
最後加上5點共線的那條線
→C7取2+7✕5+1=21+35+1=57
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