今日數測~~高一(幻冰老師出題)
發表日期：2010-07-31 18:02:51 ( 1 樓)
發表日期：2010-07-31 22:45:36 ( 2 樓)
發表日期：2010-07-31 23:10:53 ( 3 樓)
發表日期：2010-07-31 23:35:26 ( 4 樓)
發表日期：2010-08-01 00:09:55 ( 5 樓)
發表日期：2010-08-01 01:14:01 ( 6 樓)
這也太多題了吧… = =
整張考卷都拿來問會不會太誇張了…
先解個幾題好了。
1.m(AB) = 1/3
→m(AD) = (-1) / (1/3) = -3
→AD：3x + y = -3 + 2 = -1
可化為參數式：
┌ x = t
└ y = -3t - 1 （t∈R）
代入距離公式，
→√{[t - (-1)]² + [(-3t - 1) - 2]²} = 2 × √{[(-1)-2]² + [2 - 3]²} =2 × √(3² + 1² ) = 2 × √10 = 2√10
兩邊平方化簡，
→t² + 2t -3 = 0
→(t - 1)(t + 3) = 0
→t = -3 或 1（∵D∈Ⅱ，不合）
∴x = t = -3，y = -3t - 1 = (-3) × (-3) - 1 = 9 - 1 = 8
∴D(-3 , 8)＃
2. 好無聊的題目…= =
不過直接背也很簡單，
（不過不用背啦，學測才不會這樣考。）
正完全數：6、28、496、8128。
目前只找得到這四個。
∴ 28＃
3. 設 BC = x，CD = y，
→AB = BC = x，DE = CD = y（∵等腰）。
→AC = (√2)x，CE = (√2)y。
AB + BC + AC + CD + DE + CE = 8
→x + x + (√2)x + y + y + (√2)y = 8
→(2 + √2)x + (2 + √2)y = 8
→(2 + √2)(x + y) = 8
→(x + y) = 8 / (2 + √2) = 8 - 4√2
Area(梯形ABDE) = (x + y)(x + y) / 2 = (x + y)² / 2 = (8 - 4√2)² / 2 = (96 - 64√2) / 2 = 48 - 32√2（平方公尺）＃
先這三題。
整張考卷都拿來問會不會太誇張了…
先解個幾題好了。
1.m(AB) = 1/3
→m(AD) = (-1) / (1/3) = -3
→AD：3x + y = -3 + 2 = -1
可化為參數式：
┌ x = t
└ y = -3t - 1 （t∈R）
代入距離公式，
→√{[t - (-1)]² + [(-3t - 1) - 2]²} = 2 × √{[(-1)-2]² + [2 - 3]²} =2 × √(3² + 1² ) = 2 × √10 = 2√10
兩邊平方化簡，
→t² + 2t -3 = 0
→(t - 1)(t + 3) = 0
→t = -3 或 1（∵D∈Ⅱ，不合）
∴x = t = -3，y = -3t - 1 = (-3) × (-3) - 1 = 9 - 1 = 8
∴D(-3 , 8)＃
2. 好無聊的題目…= =
不過直接背也很簡單，
（不過不用背啦，學測才不會這樣考。）
正完全數：6、28、496、8128。
目前只找得到這四個。
∴ 28＃
3. 設 BC = x，CD = y，
→AB = BC = x，DE = CD = y（∵等腰）。
→AC = (√2)x，CE = (√2)y。
AB + BC + AC + CD + DE + CE = 8
→x + x + (√2)x + y + y + (√2)y = 8
→(2 + √2)x + (2 + √2)y = 8
→(2 + √2)(x + y) = 8
→(x + y) = 8 / (2 + √2) = 8 - 4√2
Area(梯形ABDE) = (x + y)(x + y) / 2 = (x + y)² / 2 = (8 - 4√2)² / 2 = (96 - 64√2) / 2 = 48 - 32√2（平方公尺）＃
先這三題。
發表日期：2010-08-01 01:42:55 ( 7 樓)
4. Area(圖形) = Area(扇形ABC) + Area(扇形ACB) + Area(扇形BAC) - 2 × Area(∆ABC)
= 3 × Area(扇形) - 2 × Area(∆ABC)
= 3 × [2²π × (1/6)] - 2 × [(√3/4) × 2²]
= 3 × [(2/3)π] - 2 × √3
= 2π - 2√3（平方單位）＃
5. 對的號碼：五個中選兩個 C(5 , 2) = 10。
其他皆放錯：
利用排容定理，
3! - 3 × 2! + 3 × 1! - 0! = 6 - 6 + 3 - 1 = 2
（隨意排 - 一對二錯 + 二對一錯 - 全對）
∴共 10 × 2 = 20種＃
6. BH：HD = AB：CD = 10：15 = 2：3（要證明可以再問我）
→HM：CD = BH ：BD
→HM：15 = 2：(2 + 3)
→HM = 6 (公尺)＃
= 3 × Area(扇形) - 2 × Area(∆ABC)
= 3 × [2²π × (1/6)] - 2 × [(√3/4) × 2²]
= 3 × [(2/3)π] - 2 × √3
= 2π - 2√3（平方單位）＃
5. 對的號碼：五個中選兩個 C(5 , 2) = 10。
其他皆放錯：
利用排容定理，
3! - 3 × 2! + 3 × 1! - 0! = 6 - 6 + 3 - 1 = 2
（隨意排 - 一對二錯 + 二對一錯 - 全對）
∴共 10 × 2 = 20種＃
6. BH：HD = AB：CD = 10：15 = 2：3（要證明可以再問我）
→HM：CD = BH ：BD
→HM：15 = 2：(2 + 3)
→HM = 6 (公尺)＃
發表日期：2010-08-01 02:24:56 ( 8 樓)
7. (5n + 1)² = 5M + 1² ≡ 1 (mod 5)
(5n + 2)² = 5M + 2² ≡ 4 (mod 5)
(5n + 3)² = 5M + 3² ≡ 4 (mod 5)
(5n + 4)² = 5M + 4² ≡ 1 (mod 5)
(5n + 5)² = 5M + 5² ≡ 0 (mod 5)
（n∈N或{0}、5M 表 5 的倍數。）
由此可知，每五個數一循環，
所以共 (2005 / 5) = 401 個循環。
所以總和為 401 × (1 + 4 + 4 + 1 + 0) + 1 + 4 + 4 +1 = 401 × 10 + 10 = 4020＃
8. ∵ k∈N 且 1 ≦ k ≦ 1000，
∴ (k / 15) 約為最簡時，分母可能為 1、3、5、15。
依題意：分母為質數，所以1 和 15 不合。
→ k 可以被 3 或 5 整除，但不可被 15 整除。
1 ～ 1000 之內的正整數可被 3 整除的個數 = ［1000 / 3］ = 333
1 ～ 1000 之內的正整數可被 5 整除的個數 = ［1000 / 5］ = 200
1 ～ 1000 之內的正整數可被 15 整除的個數 = ［1000 / 15］ = 66
（［x］表高斯符號，為不大於 x 的整數。）
所以共 333 - 66 + 200 -66 = 401個＃
9. 用國中的相似形，
延長 DQ 及 BC 交於一點 M。
5AQ = 3AB → AQ：BQ = 3：2，
3BP = 2BC→BP：CP = 2：1
∵∆ADQ ～ ∆BNQ（AA）
∴AD：BN = AQ：BQ = 3：2
又∵∆ADO ～ ∆PNO（AA）
∴AO：OP = AD：NP = AD：(BP + BN) = 3：(2 + 2) = 3：4＃
(5n + 2)² = 5M + 2² ≡ 4 (mod 5)
(5n + 3)² = 5M + 3² ≡ 4 (mod 5)
(5n + 4)² = 5M + 4² ≡ 1 (mod 5)
(5n + 5)² = 5M + 5² ≡ 0 (mod 5)
（n∈N或{0}、5M 表 5 的倍數。）
由此可知，每五個數一循環，
所以共 (2005 / 5) = 401 個循環。
所以總和為 401 × (1 + 4 + 4 + 1 + 0) + 1 + 4 + 4 +1 = 401 × 10 + 10 = 4020＃
8. ∵ k∈N 且 1 ≦ k ≦ 1000，
∴ (k / 15) 約為最簡時，分母可能為 1、3、5、15。
依題意：分母為質數，所以1 和 15 不合。
→ k 可以被 3 或 5 整除，但不可被 15 整除。
1 ～ 1000 之內的正整數可被 3 整除的個數 = ［1000 / 3］ = 333
1 ～ 1000 之內的正整數可被 5 整除的個數 = ［1000 / 5］ = 200
1 ～ 1000 之內的正整數可被 15 整除的個數 = ［1000 / 15］ = 66
（［x］表高斯符號，為不大於 x 的整數。）
所以共 333 - 66 + 200 -66 = 401個＃
9. 用國中的相似形，
延長 DQ 及 BC 交於一點 M。
5AQ = 3AB → AQ：BQ = 3：2，
3BP = 2BC→BP：CP = 2：1
∵∆ADQ ～ ∆BNQ（AA）
∴AD：BN = AQ：BQ = 3：2
又∵∆ADO ～ ∆PNO（AA）
∴AO：OP = AD：NP = AD：(BP + BN) = 3：(2 + 2) = 3：4＃
發表日期：2010-08-01 03:00:33 ( 9 樓)
10. 觀察規律：
1, 2, 1 →共 3 個數字，最高中心數字 2。
1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1 →共 8 個數字，最高中心數字 3。
1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 →共 15 個數字，最高中心數字 4。
歸結出：1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, ……, 1, 2, 3, …… n - 1, n, n + 1, ……, 3, 2, 1, ……
→共 n² - 1 個數字，最高中心數字 n。
所以算最多到多少的整數循環會最接近 2009 個數字。
x² - 1 ≦2009 （x∈N）
x ≦ √2008 ≒ 44.81…
取 x = 44。
共到44的循環為止，共有44² - 1 = 1936 - 1 = 1935 項。
之後，數值為45的為第1935 + 45 = 1980 項，
∴第 2009 項為 45 - 29 = 16＃
（應該有更好的算法。）
呼，腦袋快爆炸了，
剩下的交給其他大大啦～
辛苦啦。
本人難免會腦殘或眼殘或手殘，
如答案、計算過程有誤，
請多多指教、多多包涵啊。
1, 2, 1 →共 3 個數字，最高中心數字 2。
1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1 →共 8 個數字，最高中心數字 3。
1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 →共 15 個數字，最高中心數字 4。
歸結出：1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, ……, 1, 2, 3, …… n - 1, n, n + 1, ……, 3, 2, 1, ……
→共 n² - 1 個數字，最高中心數字 n。
所以算最多到多少的整數循環會最接近 2009 個數字。
x² - 1 ≦2009 （x∈N）
x ≦ √2008 ≒ 44.81…
取 x = 44。
共到44的循環為止，共有44² - 1 = 1936 - 1 = 1935 項。
之後，數值為45的為第1935 + 45 = 1980 項，
∴第 2009 項為 45 - 29 = 16＃
（應該有更好的算法。）
呼，腦袋快爆炸了，
剩下的交給其他大大啦～
辛苦啦。
本人難免會腦殘或眼殘或手殘，
如答案、計算過程有誤，
請多多指教、多多包涵啊。
發表日期：2010-08-01 07:54:17 ( 10 樓)
發表日期：2010-08-01 14:58:44 ( 11 樓)
發表日期：2010-08-01 14:59:54 ( 12 樓)
發表日期：2010-08-01 18:46:20 ( 13 樓)
發表日期：2010-08-01 20:45:33 ( 14 樓)
發表日期：2010-08-01 21:24:26 ( 15 樓)
發表日期：2010-08-01 21:37:39 ( 16 樓)
發表日期：2010-08-01 21:53:51 ( 17 樓)
發表日期：2010-08-01 21:54:55 ( 18 樓)
發表日期：2010-08-01 21:58:31 ( 19 樓)
發表日期：2010-08-01 22:03:10 ( 20 樓)
發表日期：2010-08-01 22:07:57 ( 21 樓)
發表日期：2010-08-01 22:09:11 ( 22 樓)
發表日期：2010-08-01 22:55:06 ( 23 樓)
發表日期：2010-08-04 15:45:03 ( 24 樓)
留言
張貼留言