請教一題極值求法問題(已解決)
發表日期：2009-01-02 17:19:19 ( 1 樓)
發表日期：2009-01-02 18:43:16 ( 2 樓)
發表日期：2009-01-02 20:14:51 ( 3 樓)
發表日期：2009-01-02 20:22:24 ( 4 樓)
發表日期：2009-01-02 20:26:14 ( 5 樓)
QUOTE:
作者:B hobo66 回覆日期：2009-01-02 20:22:24
抱歉....耍笨了.. 先刪掉
但方法是可以的
x²+y²=m²,x=mcosA,y=msinA
5m²cos²A-4m²cosAsinA+2m²sin²A=36
3m²cos²A-2m²sin2A+2m²=36
m²=36/(3cos²A-2sin2A+2)
m²=36/(3(cos2A+1)/2-2sin2A+2)
m²=72/(7+3cos2A-4sin2A)
m²=72/(7+5sin(Φ-2A)),sinΦ=3/5
max(m²)=M=72/(7-5)=36
min(m²)=N=72/(7+5)=6
M+N=42
希望沒有算錯
.....還是錯了些
發表日期：2009-01-02 20:41:54 ( 6 樓)
發表日期：2009-01-02 21:20:27 ( 7 樓)
發表日期：2009-01-02 21:40:35 ( 8 樓)
發表日期：2009-01-02 21:49:51 ( 9 樓)
發表日期：2009-01-02 21:56:46 ( 10 樓)
QUOTE:老實說我也還不知道答案...抱歉
作者:B 外星人ET仔 回覆日期：2009-01-02 20:26:14
但方法是可以的
x²+y²=m²,x=mcosA,y=msinA
5m²cos²A-4m²cosAsinA+2m²sin²A=36
3m²cos²A-2m²sin2A+2m²=36
m²=36/(3-3sin²A-2sin2A+2)
m²=36/(5-3(2cos2A-1)/2-2sin2A)
m²=36/(13/2-3cos2A-2sin2A)
m²=36/(13/2-√13sin(2A+Φ)),sinΦ=3/√13
max(m²)=M=36/(13/2-√13)=72(13+2√13)/117
min(m²)=N=36/(13/2+√13)=72(13-2√13)/117
M+N=144/9
希望沒有算錯
但化成三角函數的解法我紅色部分都不懂....
好像要用到蠻多三角函數的進階性質...
所以這些式子是怎麼變化的完全沒有頭緒...
而一樓的偏微分！！
這更玄了...好像聽過而已....
二樓的講法好像很具突破性，能否詳細解一下？
六樓解法，頂樓嘗試了，但無法保證xy同時取值對應為原本的關係式....
發表日期：2009-01-02 22:06:55 ( 11 樓)
發表日期：2009-01-02 22:13:31 ( 12 樓)
再試一遍XD
5x^2-4xy+2y^2-36=0
3m²cos²A-2m²sin2A+2m²-36=0
(3/2)(m^2)(2cosA^2-1)+(3/2)(m^2)-(2m^2)(sin2A)+2m^2-36=0
(3/2)m^2*cos2A-2m^2*sin2A+(7/2)m^2-36=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(5/2)m^2*cos(2A+B)=36-(7/2)m^2
^^^^^設2D
(cosB=3/5.sinB=4/5)
cos2D=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
[1-tanD^2]/[1+tanD^2]=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
(和比)->2/[1+tanD^2]=[36-m^2]/(5/2)m^2
(以下用t表 t為實數)
5m^2=36+36t^2-m^2-m^2*^2
6m^2-36=(36-m^2)t^2
(m^2-36)t^2+(6m^2-36)=0
(判別式)
6<=m^2<=36
(6)^(1/2)<=m<=6
我有翻一下旋轉座標那邊..
5x^2-4xy+2y^2-36=0
可以變成.x'^2+6y'^2=36的橢圓
應該是6和根號6這兩個
-----------------------
(還是錯...算了.= =")
5x^2-4xy+2y^2-36=0
3m²cos²A-2m²sin2A+2m²-36=0
(3/2)(m^2)(2cosA^2-1)+(3/2)(m^2)-(2m^2)(sin2A)+2m^2-36=0
(3/2)m^2*cos2A-2m^2*sin2A+(7/2)m^2-36=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(5/2)m^2*cos(2A+B)=36-(7/2)m^2
^^^^^設2D
(cosB=3/5.sinB=4/5)
cos2D=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
[1-tanD^2]/[1+tanD^2]=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
(和比)->2/[1+tanD^2]=[36-m^2]/(5/2)m^2
(以下用t表 t為實數)
5m^2=36+36t^2-m^2-m^2*^2
6m^2-36=(36-m^2)t^2
(m^2-36)t^2+(6m^2-36)=0
(判別式)
6<=m^2<=36
(6)^(1/2)<=m<=6
我有翻一下旋轉座標那邊..
5x^2-4xy+2y^2-36=0
可以變成.x'^2+6y'^2=36的橢圓
應該是6和根號6這兩個
-----------------------
(還是錯...算了.= =")
發表日期：2009-01-02 22:14:44 ( 13 樓)
發表日期：2009-01-02 23:05:06 ( 14 樓)
旋轉座標法
設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5
5x²-4xy+2y²=36
5(u²-4uv+4v²)-4(2u²-3uv-2v²)+2(4u²+4uv+v²)=36*5
5u²+30v²=36*5
u²+6v²=36
x²+y²
=(u²-4uv+4v²)/5+(4u²+4uv+v²)/5
=u²+v²
max出現在v=0,max=36
min出現在u=0,min=6
旋轉座標軸還是要用三角函數.........=.=!
若果不是x²+y²還可以用嗎....=.=?
設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5
5x²-4xy+2y²=36
5(u²-4uv+4v²)-4(2u²-3uv-2v²)+2(4u²+4uv+v²)=36*5
5u²+30v²=36*5
u²+6v²=36
x²+y²
=(u²-4uv+4v²)/5+(4u²+4uv+v²)/5
=u²+v²
max出現在v=0,max=36
min出現在u=0,min=6
QUOTE:
作者:G 宇亭 回覆日期：2009-01-02 22:06:55
微分沒教 三角函數沒教.....真的挺麻煩的~
就看....寒冰魅影 有什麼奇招了(笑~
旋轉座標軸還是要用三角函數.........=.=!
若果不是x²+y²還可以用嗎....=.=?
發表日期：2009-01-02 23:23:40 ( 15 樓)
QUOTE:如果是2x^2+3y^2
作者:B 外星人ET仔 回覆日期：2009-01-02 23:05:06
旋轉座標法
設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5
5x²-4xy+2y²=36
5(u²-4uv+4v²)-4(2u²-3uv-2v²)+2(4u²+4uv+v²)=36*5
5u²+30v²=36*5
u²+6v²=36
x²+y²
=(u²-4uv+4v²)/5+(4u²+4uv+v²)/5
=u²+v²
max出現在v=0,max=36
min出現在u=0,min=6
旋轉座標軸還是要用三角函數.........=.=!
若果不是x²+y²還可以用嗎....=.=?
那令2x^2+3y^2=m^2
(2/m^2)*x^2+(3/m^2)*y^2=1
x=(m/根號2)cosA y=(m/根號3)sinA... 不過還是會算死.XD
發表日期：2009-01-02 23:27:25 ( 16 樓)
發表日期：2009-01-02 23:28:15 ( 17 樓)
QUOTE:當初應該要設x^2+y^2=m^2 這樣才會x=mcosA y=msinA....
作者:B hobo66 回覆日期：2009-01-02 22:13:31
再試一遍XD
5x^2-4xy+2y^2-36=0
3m²cos²A-2m²sin2A+2m²-36=0
(3/2)(m^2)(2cosA^2-1)+(3/2)(m^2)-(2m^2)(sin2A)+2m^2-36=0
(3/2)m^2*cos2A-2m^2*sin2A+(7/2)m^2-36=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(5/2)m^2*cos(2A+B)=36-(7/2)m^2
^^^^^設2D
(cosB=3/5.sinB=4/5)
cos2D=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
[1-tanD^2]/[1+tanD^2]=[36-(7/2)m^2]/(5/2)m^2
(和比)->2/[1+tanD^2]=[36-m^2]/(5/2)m^2
(以下用t表 t為實數)
5m^2=36+36t^2-m^2-m^2*^2
6m^2-36=(36-m^2)t^2
(m^2-36)t^2+(6m^2-36)=0
(判別式)
6<=m^2<=36
(6)^(1/2)<=m<=6
我有翻一下旋轉座標那邊..
5x^2-4xy+2y^2-36=0
可以變成.x'^2+6y'^2=36的橢圓
應該是6和根號6這兩個
-----------------------
(還是錯...算了.= =")
所以是6和36沒錯.
14樓是對的
發表日期：2009-01-02 23:40:21 ( 18 樓)
發表日期：2009-01-03 00:03:28 ( 19 樓)
發表日期：2009-01-03 00:11:30 ( 20 樓)
發表日期：2009-01-03 20:30:43 ( 21 樓)
發表日期：2009-01-04 03:13:19 ( 22 樓)
令 y= m x 帶入方程式
5x²-4x(mx)+2(mx)²-36=0
整理一下
5x²-4mx²+2m²x²-36=0,
x²(2m²-4m+5)-36=0
x²=36/(2m²-4m+5) 分母的判別式4²-4*2*5<0 恆正
又因為y=mx 所以 y²=m²x²
y²=36m²/(2m²-4m+5)
所以
x²+y²=36/(2m²-4m+5)+36m²/(2m²-4m+5)
=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
=(36m²-72m+90+72m-90+36)/(2m²-4m+5)
=18+18(4m-3)/(2m²-4m+5)
令(4m-3)/(2m²-4m+5)=k 分母乘過去
4m-3=2m²k-4mk+5k 整理
2km²-(4k+4)m+5k+3=0
m={(4k+4)±√[(4k+4)²-4*2k*(5k+3)]}/4k 因為根號裡面要非負
所以
(4k+4)²-4*2k*(5k+3)≥0整理
-24k²+8k+16≥0 同除以-8 注意 ≥ 要變號 ≤
3k²-k-2≤0
(3k+2)(k-1)≤0
-2/3 ≤ k ≤ 1 又k不等於0(非重點)
得到k的最大值 1 和最小值 -2/3
複製一下剛剛的結果
x²+y²=18+18(4m-3)/(2m²-4m+5)
=18+18*k
k=1 有最大值 x²+y²=18+18=36
k=-2/3 有最小值 x²+y²=18-12=6
6+36=42
似乎不夠嚴謹
不過盡量以簡單出發了...
雖然這樣過程很繁雜...
有瑕疵再來討論看看好了...
5x²-4x(mx)+2(mx)²-36=0
整理一下
5x²-4mx²+2m²x²-36=0,
x²(2m²-4m+5)-36=0
x²=36/(2m²-4m+5) 分母的判別式4²-4*2*5<0 恆正
又因為y=mx 所以 y²=m²x²
y²=36m²/(2m²-4m+5)
所以
x²+y²=36/(2m²-4m+5)+36m²/(2m²-4m+5)
=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
=(36m²-72m+90+72m-90+36)/(2m²-4m+5)
=18+18(4m-3)/(2m²-4m+5)
令(4m-3)/(2m²-4m+5)=k 分母乘過去
4m-3=2m²k-4mk+5k 整理
2km²-(4k+4)m+5k+3=0
m={(4k+4)±√[(4k+4)²-4*2k*(5k+3)]}/4k 因為根號裡面要非負
所以
(4k+4)²-4*2k*(5k+3)≥0整理
-24k²+8k+16≥0 同除以-8 注意 ≥ 要變號 ≤
3k²-k-2≤0
(3k+2)(k-1)≤0
-2/3 ≤ k ≤ 1 又k不等於0(非重點)
得到k的最大值 1 和最小值 -2/3
複製一下剛剛的結果
x²+y²=18+18(4m-3)/(2m²-4m+5)
=18+18*k
k=1 有最大值 x²+y²=18+18=36
k=-2/3 有最小值 x²+y²=18-12=6
6+36=42
似乎不夠嚴謹
不過盡量以簡單出發了...
雖然這樣過程很繁雜...
有瑕疵再來討論看看好了...
發表日期：2009-01-04 03:24:59 ( 23 樓)
發表日期：2009-01-04 12:45:10 ( 24 樓)
非常感謝各位高手的眾多解法！
其中比較好理解的好像只有21樓和22樓兩位的解法！
像21樓感覺很妙，但應該是題目本身有配好的吧....
問幾個問題：
1.請問22樓，為什麼可以令y= m x？不用加常數嗎？還是說這種極值問題xy必成正比關係？
2.請問14樓，為什麼可以設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5？這樣的設法在幾何上有什麼意義呢？
3.至於其他用三角函數解題的高手們...我真的沒法理解...
回mathplayer：其實正式三角函數的課程在高一下，我自己本身稍微接觸過而已。很多三角函數變換的技巧都不太會應用。
順便講一下22樓的解法，其實後面過程不必那麼複雜。
解到
x²+y²=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
令x²+y²=t
t=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
2tm²-4tm+5t-36m²-36=0
(2t-36)m²-4tm+(5t-36)=0
因為m為實數，D≥0
16t²-8(t-18)(5t-36)≥0
t²-42t+216≤0
(t-36)(t-6)≤0
解得36≥t≥6
故x²+y²的極值為36和6。
其中比較好理解的好像只有21樓和22樓兩位的解法！
像21樓感覺很妙，但應該是題目本身有配好的吧....
問幾個問題：
1.請問22樓，為什麼可以令y= m x？不用加常數嗎？還是說這種極值問題xy必成正比關係？
2.請問14樓，為什麼可以設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5？這樣的設法在幾何上有什麼意義呢？
3.至於其他用三角函數解題的高手們...我真的沒法理解...
回mathplayer：其實正式三角函數的課程在高一下，我自己本身稍微接觸過而已。很多三角函數變換的技巧都不太會應用。
順便講一下22樓的解法，其實後面過程不必那麼複雜。
解到
x²+y²=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
令x²+y²=t
t=(36m²+36)/(2m²-4m+5)
2tm²-4tm+5t-36m²-36=0
(2t-36)m²-4tm+(5t-36)=0
因為m為實數，D≥0
16t²-8(t-18)(5t-36)≥0
t²-42t+216≤0
(t-36)(t-6)≤0
解得36≥t≥6
故x²+y²的極值為36和6。
發表日期：2009-01-04 15:37:04 ( 25 樓)
發表日期：2009-01-04 17:54:09 ( 26 樓)
QUOTE:
作者:B 飛雷 回覆日期：2009-01-04 12:45:10
2.請問14樓，為什麼可以設x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5？這樣的設法在幾何上有什麼意義呢？
又是一個比較難的技巧
x=ucosθ-vsinθ,y=usinθ+vcosθ
舊座標軸逆時針旋轉θ角度後至新座標軸
二次曲線通式
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
旋轉至新座標軸
Au²+Buv+Cv²+Du+Ev+F=0
A=acosθ²+bcosθsinθ+csinθ²
B=(c-a)sin2θ+bcos2θ
C=acosθ²-bcosθsinθ+csinθ²
D=dcosθ+esinθ
E=-dsinθ+ecosθ
F=f
新座標軸令B=0
(c-a)sin2θ+bcos2θ=0
tan2θ=b/(c-a)=-4/(2-5)=4/3
cos2θ=3/5
sinθ=√((1-cos2θ)/2)=1/√5
cosθ=√((1+cos2θ)/2)=2/√5
所以
x=(u-2v)/√5,y=(2u+v)/√5
5x²-4xy+2y²=36
即是長半軸為6,短半軸√6,橢圓心在(0,0),旋轉了26.565度的橢圓
x²+y²是與(0,0)的距離的平方
所以max出現在長半軸位置,而min出現在短半軸位置
留言
張貼留言