【國中】數學競賽初選題
以下這些題目是我不會的，求高手解答......
1.
11.....11111 X 33......33 的積為N，求N的各位數字的和。
(2012個1) (2012個3)
2.
若[n]代表最接近n但小於等於n的數，例如[3.5]=3，[根號4]=2
求 [根號1] + [根號2] + [根號3] ....... +[根號2012] = ?
3.
因為是國中考題，可以的話請盡量只用國中學過的觀念來思考！
-----------------------------
隊際賽：
1.
若a,b皆屬於正整數，證明a^2 + a + b 和 b^2 + a + b 不可能同時為完全平方數。
2.
有一三乘三的表格，現要將1,2,3,4,6,9,12,18,36此六個數字填入九個空格內，使得每一直行，橫列，對角線的積皆相等，請問有沒有可能做到？若行，請給出例子，若不行，請說明理由。
1.
11.....11111 X 33......33 的積為N，求N的各位數字的和。
(2012個1) (2012個3)
2.
若[n]代表最接近n但小於等於n的數，例如[3.5]=3，[根號4]=2
求 [根號1] + [根號2] + [根號3] ....... +[根號2012] = ?
3.
因為是國中考題，可以的話請盡量只用國中學過的觀念來思考！
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隊際賽：
1.
若a,b皆屬於正整數，證明a^2 + a + b 和 b^2 + a + b 不可能同時為完全平方數。
2.
有一三乘三的表格，現要將1,2,3,4,6,9,12,18,36此六個數字填入九個空格內，使得每一直行，橫列，對角線的積皆相等，請問有沒有可能做到？若行，請給出例子，若不行，請說明理由。
發表日期：2012-03-16 21:31:48 ( 2 樓)
1. 1*3=3 數字和=3
11*33=363 數字和=12=3+9
111*333=36963 數字和=27=3+9+15
1111*3333=3702963 數字和=30=3+9+15+3
.
.
.
111...11*333...33 (2010個1及3) 數字和=(3+9+15)*(2010/3)
原式=N 數字和=(3+9+15)*(2010/3) + 3+9 =18102
2. 跟樓上一樣
或者稍化簡成 1*3+2*5+...+43*87+44*77
=1*3+2*(8-4+1)+....+43*(1935-1849+1)+44*77
=1*(4-1)+2*(9-4)+....+43*(1936-1849) +44*77
=-1 -2^2 -....-43^2 +43*44^2 + 44*77
=44*77+43*44^2 - sigma n^2 (n=1~43)
但也要用到sigma =59202
5. 全部數字相乘=2^9 *3^9 有9個2及9個3 , 若假設成立,則3格乘積必＝216
因為9宮格有9格,每3格為1部份,可把9宮格分成3等分（例如上中下）,
3格乘積可能2*2*2*3*3*3=216
首先確立36位置,下層中間,於是中層中間為6,上層中間為1
216=36*6=36*2*3 於是下層左右分別填入2,3
答案已出現
12 1 18
9 6 4
2 36 3
3. 我想不出好作法,只好硬解
由1式 移項並倒數 x=(3y+3z)/(y+z-3) ------4
y=(4x+4z)/(x+z-4) ------5 此式帶入4,6
z= (5x+5y)/(x+y-5) -----6 此式帶入4,5
化簡結果 6x^2 +4 xz -2z^2 =0 及 6x^2 +2xy - 4y^2 =0
(x+z)(3x-z)=0 及 (x+y)(3x-2y)=0
x+z 及 x+y 均不可為0 , 得 z=3x ,y=3x/2
再帶入原第1式 得3x =11 ,所求3x+2y+z=9x =33
4. 有極大可能是錯誤證明 ,不負責任如下
1. 設a=0 由題意 a^2 +a+b=b 為完全平方數
那麼b^2+a+b=b(b+1) 則當b不等於0時,b^2+a+b 不是完全平方數
b也等於0時 無意義
2.a不等於0時,設b=a+k
由題意 a^2+a+(a+k) = m^2
又(a+k)^2 +a+(a+k) =m^2 +k^2 +2ak
當m=a 時 ,上式 =(a+k)^2 = b^2 ----------這步m=a設定,有很大存疑
也就是 a+b =0 , a= - b 滿足兩者均是完全平方數
但因a,b都是正整數,所以上面推論不合,不可能同時為完全平方數
11*33=363 數字和=12=3+9
111*333=36963 數字和=27=3+9+15
1111*3333=3702963 數字和=30=3+9+15+3
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111...11*333...33 (2010個1及3) 數字和=(3+9+15)*(2010/3)
原式=N 數字和=(3+9+15)*(2010/3) + 3+9 =18102
2. 跟樓上一樣
或者稍化簡成 1*3+2*5+...+43*87+44*77
=1*3+2*(8-4+1)+....+43*(1935-1849+1)+44*77
=1*(4-1)+2*(9-4)+....+43*(1936-1849) +44*77
=-1 -2^2 -....-43^2 +43*44^2 + 44*77
=44*77+43*44^2 - sigma n^2 (n=1~43)
但也要用到sigma =59202
5. 全部數字相乘=2^9 *3^9 有9個2及9個3 , 若假設成立,則3格乘積必＝216
因為9宮格有9格,每3格為1部份,可把9宮格分成3等分（例如上中下）,
3格乘積可能2*2*2*3*3*3=216
首先確立36位置,下層中間,於是中層中間為6,上層中間為1
216=36*6=36*2*3 於是下層左右分別填入2,3
答案已出現
12 1 18
9 6 4
2 36 3
3. 我想不出好作法,只好硬解
由1式 移項並倒數 x=(3y+3z)/(y+z-3) ------4
y=(4x+4z)/(x+z-4) ------5 此式帶入4,6
z= (5x+5y)/(x+y-5) -----6 此式帶入4,5
化簡結果 6x^2 +4 xz -2z^2 =0 及 6x^2 +2xy - 4y^2 =0
(x+z)(3x-z)=0 及 (x+y)(3x-2y)=0
x+z 及 x+y 均不可為0 , 得 z=3x ,y=3x/2
再帶入原第1式 得3x =11 ,所求3x+2y+z=9x =33
4. 有極大可能是錯誤證明 ,不負責任如下
1. 設a=0 由題意 a^2 +a+b=b 為完全平方數
那麼b^2+a+b=b(b+1) 則當b不等於0時,b^2+a+b 不是完全平方數
b也等於0時 無意義
2.a不等於0時,設b=a+k
由題意 a^2+a+(a+k) = m^2
又(a+k)^2 +a+(a+k) =m^2 +k^2 +2ak
當m=a 時 ,上式 =(a+k)^2 = b^2 ----------這步m=a設定,有很大存疑
也就是 a+b =0 , a= - b 滿足兩者均是完全平方數
但因a,b都是正整數,所以上面推論不合,不可能同時為完全平方數
發表日期：2012-03-16 22:21:01 ( 3 樓)
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