【高中】正整數

B  Preceptor   

發表日期：2009-05-02 21:16:12

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試求所有的正整數ｎ

使得ｎ^5＋2ｎ^4＋2ｎ³＋2ｎ²＋2ｎ＋1為一完全平方數。

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B  叮噹A夢   

發表日期：2009-05-02 22:26:46  ( 1 樓)

原式=(n+1)*(n^4+n^3+n^2+n+1)=完全平方數
所以  n+1= n^4+n^3+n^2+n+1
移項  n^4+n^3+n^2 = 0
         (n^2)(n^2+n+1) = 0

所以 n^2=0 或是 n^2+n+1=0

1 ) n^2=0   n=0

2 ) n^2+n+1=0  n=0

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B  n6333373   

發表日期：2009-05-02 22:36:23  ( 2 樓)

QUOTE:

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作者:B 叮噹A夢 回覆日期：2009-05-02 22:26:46
原式=(n+1)*(n^4+n^3+n^2+n+1)=完全平方數
所以  n+1= n^4+n^3+n^2+n+1
移項  n^4+n^3+n^2 = 0
         (n^2)(n^2+n+1) = 0

所以 n^2=0 或是 n^2+n+1=0

1 ) n^2=0   n=0

2 ) n^2+n+1=0  n=0

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這是什麼道理 =.= 那你算 n=3 代入試試看

目前我只有想到 f(n) = (n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)
又 n+1 與 n^4+n^3+n^2+n+1 恆互質 (由輾轉相除法得知)
所以 n+1 與 n^4+n^3+n^2+n+1 必同時為完全平方數
但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間 ...

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B  叮噹A夢   

發表日期：2009-05-02 22:51:31  ( 3 樓)

QUOTE:

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作者:B n6333373 回覆日期：2009-05-02 22:36:23
這是什麼道理 =.= 那你算 n=3 代入試試看

目前我只有想到 f(n) = (n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)
又 n+1 與 n^4+n^3+n^2+n+1 恆互質 (由輾轉相除法得知)
所以 n+1 與 n^4+n^3+n^2+n+1 必同時為完全平方數
但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間 ...

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n+1 和 n^4+n^3+n^2+n+1 為什麼要互質?
完全平方數=某數的平方
例如：0^2=0  1^2=1  2^2=4   3^2=9 類推
展轉得(n+1)*(n^4+n^3+n^2+n+1)之後
n+1要等於n^4+n^3+n^2+n+1
f(n)才會等於完全平方數 就是 0 1 4 9 16  25  36......

B  叮噹A夢   05-02 22:52 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

B  n6333373   

發表日期：2009-05-02 22:58:39  ( 4 樓)

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作者:B 叮噹A夢 回覆日期：2009-05-02 22:51:31

n+1 和 n^4+n^3+n^2+n+1 為什麼要互質?
完全平方數=某數的平方
例如：0^2=0  1^2=1  2^2=4   3^2=9 類推
展轉得(n+1)*(n^4+n^3+n^2+n+1)之後
n+1要等於n^4+n^3+n^2+n+1
f(n)才會等於完全平方數 就是 0 1 4 9 16  25  36......

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這個說法漏洞還挺大的 ......
16 = 2*8 您說 16 不是完全平方數嗎 ...？
為什麼 n+1 非得等於 n^4+n^3+n^2+n+1 ...？
再說如果您這麼認為，那您帶把 n=3 代入自己體會一下吧 ...

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B  叮噹A夢   

發表日期：2009-05-02 23:09:06  ( 5 樓)

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作者:B n6333373 回覆日期：2009-05-02 22:58:39
這個說法漏洞還挺大的 ......
16 = 2*8 您說 16 不是完全平方數嗎 ...？
為什麼 n+1 非得等於 n^4+n^3+n^2+n+1 ...？
再說如果您這麼認為，那您帶把 n=3 代入自己體會一下吧 ...

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平方數-維基百科  (不能外連= =)
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0
請過目一下

再者
題目就是要求n
在n的正確解答求出之前  代任何數都不能確定是否為正解
如果代n=3 那n是否也可以代 1 2 3 4 5 ....

對了
但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間
這句我不太懂什麼意思  0.0

B  叮噹A夢   05-02 23:14 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

B  n6333373   

發表日期：2009-05-02 23:15:53  ( 6 樓)

QUOTE:

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作者:B 叮噹A夢 回覆日期：2009-05-02 23:09:06

平方數-維基百科
請過目一下

再者
題目就是要求n
在n的正確解答求出之前  代任何數都不能確定是否為正解
如果代n=3 那n是否也可以代 1 2 3 4 5 ....

對了
但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間
這句我不太懂什麼意思  0.0

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但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間
這句我不太懂什麼意思  0.0

↑以前我遇到這種題型都是這樣解的，但這題似乎不管用，計當作沒看到好了 ...

至於關於n的代入
n是可以代入任何值沒錯
但重點是出來的值是不是完全平方數
而 n=3 代入得到 484 = 22^2 所以 n=3 是其中的一組解
至於有幾組解，目前我還不知道(當然也可能只有n=3一組)。
而題目是要你把所有符合題意的 n 都求出來。

B  n6333373   05-02 23:20 最後編輯 |   分享  引用  檢舉  編輯  刪除

B  叮噹A夢   

發表日期：2009-05-02 23:24:59  ( 7 樓)

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作者:B n6333373 回覆日期：2009-05-02 23:15:53
但卻找不到兩個連續正整數的平方把 n^4+n^3+n^2+n+1 卡在中間
這句我不太懂什麼意思  0.0

↑以前我遇到這種題型都是這樣解的，但這題似乎不管用，計當作沒看到好了 ...

至於關於n的代入
n是可以代入任何值沒錯
但重點是出來的值是不是完全平方數
而 n=3 代入得到 484 = 22^2 所以 n=3 是其中的一組解
至於有幾組解，目前我還不知道(當然也可能只有n=3一組)。
而題目是要你把所有符合題意的 n 都求出來。

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喔 -.-
就是說我把他想的太簡單了  囧

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B  n6333373   

發表日期：2009-05-03 14:36:30  ( 8 樓)