還是個極值求法問題

B 飛雷

發表日期：2009-01-18 16:52:38

若x²+xy-y²+2x-y=0，且x.y是實數
設2x+y的最大值為M，最小值為N
求M+N=？

【個人想法】
這題還和上次的問題有點不同，看似容易很多...但不知為何我試了很多方法仍無所得....這邊分享我兩種算法...請教是哪裡需要改善....

1.
x²+xy-y²+2x-y=0
2x+y
=y²+2y-x²-xy
=-(x+1/2y)² +5/4y²+2y
=-(x+1/2y)² +5/4(y+4/5)²-4/5

結果配方會產生一正一負的下場，
根本無從判斷極值。

2.
令2x+y=t
y=t-2x帶入
x²+x(t-2x)-(t-2x)²+2x-(t-2x)=0
整理得
-5x²+(5t+4)x-(t²+t)=0
因為x為實數，故D≥0
25t²+40t+16-20t²-20t≥0
5t²+20t+16≥0
解得t≥2/5√5-2 或 t≤-2/5√5-2

然後問題來了...這範圍根本看不出極值啊....
同時往兩邊延伸，似乎是少了其他條件......

再次請各高手指教！

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B 外星人ET仔

發表日期：2009-01-18 17:14:26 ( 1 樓)

x²+xy-y²+2x-y=0 這是雙曲線

t≥2/5√5-2 或 t≤-2/5√5-2 已是答案

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B !Kevin

發表日期：2009-01-18 18:26:53 ( 2 樓)

這題用Lagrange Multiplier會容易許多
Constraint:x²+xy-y²+2x-y=0
Λ(x,y,λ)=2x+y+λ(x²+xy-y²+2x-y)
∂Λ/∂x=2+λ(2x+y+2)=0
∂Λ/∂y=1+λ(x-2y-1)=0
x.∂Λ/∂x+y.∂Λ/∂y= 2(2x+y +λ[x²+xy-y²+2x-y])=0
2x+y=0 since x²+xy-y²+2x-y=0
所以極值發生於當2x+y=0
帶入 y=-2x

...接下來可自己弄

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B 飛雷

發表日期：2009-01-18 20:46:36 ( 3 樓)

QUOTE:
作者:B 外星人ET仔回覆日期：2009-01-18 17:14:26
x²+xy-y²+2x-y=0 這是雙曲線

t≥2/5√5-2 或 t≤-2/5√5-2 已是答案

那最大和最小值不就無限延伸....？

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B 飛雷

發表日期：2009-01-18 20:49:24 ( 4 樓)

QUOTE:
作者:B !Kevin 回覆日期：2009-01-18 18:26:53
這題用Lagrange Multiplier會容易許多
Constraint:x²+xy-y²+2x-y=0
Λ(x,y,λ)=2x+y+λ(x²+xy-y²+2x-y)
∂Λ/∂x=2+λ(2x+y+2)=0
∂Λ/∂y=1+λ(x-2y-1)=0
x.∂Λ/∂x+y.∂Λ/∂y= 2(2x+y +λ[x²+xy-y²+2x-y])=0
2x+y=0 since x²+xy-y²+2x-y=0
所以極值發生於當2x+y=0
帶入 y=-2x

...接下來可自己弄

呃...看不懂前面的作法....
而且題目不是要求 2x+y的極值嗎....？
先得到2x+y=0是什麼意思...？
那0是極大還是極小值？

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B 外星人ET仔

發表日期：2009-01-18 21:34:09 ( 5 樓)

QUOTE:
作者:B 飛雷回覆日期：2009-01-18 20:46:36
那最大和最小值不就無限延伸....？

這裡算的是極值
像雙曲線也有極大值,極小值(只是斜率為0的地方)
並不是函數最大和最小的值

!Kevin 大大是用大學的方法
你要學會偏微分才會慬

還有他好像....算錯了-.-!
x.∂Λ/∂x+y.∂Λ/∂y= 2x+y +λ[2x²+2xy-2y²+2x-y]=0

B 外星人ET仔 01-18 21:49 最後編輯 | 分享引用檢舉編輯刪除

B 超弦ㄟ拓樸

發表日期：2009-01-24 12:59:40 ( 6 樓)

我記得您是高一吧，給您參考：

若x²+xy-y²+2x-y=0，且x.y是實數

4x²+4xy-4y²+8x-4y=0

(2x+y)²-5y²+4(2x+y)-8y=0

(2x+y+2)²=5y²+8y+4

5y²+8y+4恆大於0，

當y=-4/5有極小值(你可用配方法求得或用微分更快)

A=√(5y²+8y+4)

2x+y=-2±A

M=-2+A ，N=-2-A

B 超弦ㄟ拓樸 01-24 13:02 最後編輯 | 分享引用檢舉編輯刪除

B 飛雷

發表日期：2009-01-24 23:23:52 ( 7 樓)

QUOTE:
作者:B 超弦ㄟ拓樸回覆日期：2009-01-24 12:59:40
A=√(5y²+8y+4)

2x+y=-2±A

M=-2+A ，N=-2-A

先謝謝你的提供，
但在這裡，A的值該取多少來計算極值呢？
M是最大值，那A值不是盡量取大都沒關係嗎...？
也就是y值代越大都行？
N是最小值，所以A值也是盡量取大才能最小...？
但這樣又看不出極值了呀....？

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B 外星人ET仔

發表日期：2009-01-24 23:44:35 ( 8 樓)

QUOTE:
作者:B 飛雷回覆日期：2009-01-24 23:23:52
先謝謝你的提供，
但在這裡，A的值該取多少來計算極值呢？
M是最大值，那A值不是盡量取大都沒關係嗎...？
也就是y值代越大都行？
N是最小值，所以A值也是盡量取大才能最小...？
但這樣又看不出極值了呀....？

他只是求M+N的方法
其實我覺得你題目是想求極值
不是函數真正的最大最小值

B 外星人ET仔 01-24 23:43 最後編輯 | 分享引用檢舉編輯刪除

B 西拔辣

發表日期：2009-01-25 01:29:35 ( 9 樓)

不能這樣用A取M+N喔
他的方法要建立在取最大最小值的時候
y的值必須固定才可以唷!!
這個方法是讓你參考給定y後如何取最大小值
而無限大+負無限大是沒有意義的
但不能因此就判斷此題答案不存在
再想其他方式吧...

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B 外星人ET仔

發表日期：2009-01-25 09:25:33 ( 10 樓)

QUOTE:
作者:B 西拔辣回覆日期：2009-01-25 01:29:35
不能這樣用A取M+N喔
他的方法要建立在取最大最小值的時候
y的值必須固定才可以唷!!
這個方法是讓你參考給定y後如何取最大小值
而無限大+負無限大是沒有意義的
但不能因此就判斷此題答案不存在
再想其他方式吧...

其實我覺得樓主已算出答案
只是他不相信而已
x²+xy-y²+2x-y=0是雙曲線
函數最大值一定是+∞,最小值一定是-∞
所以這題只存在極值(即上半曲線最低點,及下半曲線最高點)

B 外星人ET仔 01-25 09:26 最後編輯 | 分享引用檢舉編輯刪除

B 超弦ㄟ拓樸

發表日期：2009-01-25 11:03:44 ( 11 樓)

不錯,我給您參考的作法,只是如何求出M+N=-4
因為高一還沒交到圓錐曲線,微積分,..(無限的概念也還沒交到吧)
題目只要求2X+Y=?而不是求f(x,y)=x²+xy-y²+2x-y的極值
當您的點(x,y)是變動時,2x+y也是隨著變動(圖形上平行2X+Y=0)
只是給定y值會出現2個2x+y值,一個較大M一個較小N
M+N剛好可得到一個固定值-4
我想這是出題者設計好的吧,就跟您上題類似
當圓錐曲線,三角函數,微積分都不能用時,我想用代數式應是較簡潔的方法

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B 外星人ET仔

發表日期：2009-01-25 13:05:58 ( 12 樓)

QUOTE:
作者:B 超弦ㄟ拓樸回覆日期：2009-01-25 11:03:44
不錯,我給您參考的作法,只是如何求出M+N=-4
因為高一還沒交到圓錐曲線,微積分,..(無限的概念也還沒交到吧)
題目只要求2X+Y=?而不是求f(x,y)=x²+xy-y²+2x-y的極值
當您的點(x,y)是變動時,2x+y也是隨著變動(圖形上平行2X+Y=0)
只是給定y值會出現2個2x+y值,一個較大M一個較小N
M+N剛好可得到一個固定值-4
我想這是出題者設計好的吧,就跟您上題類似
當圓錐曲線,三角函數,微積分都不能用時,我想用代數式應是較簡潔的方法

其實求2X+Y與求x²+xy-y²+2x-y=0的極值的概念是一樣的

x²+xy-y²+2x-y=0的極值
出現在與y=c相切的那兩點

樓主題目的極值
出現在與2x+y=c相切的那兩點

其實只是斜率不同

其實我覺得樓主只是被"最大值","最小值"這兩個名詞誤導了
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%9E%81%E5%80%BC&variant=zh-tw
我個人比較喜歡叫極值,"最大值最小值"是很容易令人誤解的

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